Pistetulo
Vektoreiden välinen kertolasku on pistetulo. Pistetuloa kutsutaan myös skalaarituloksi, sillä pistetulon tulos on aina skalaari, eli reaaliluku.
Vektorien välinen kulma ja pistetulo
Kahden vektorin välinen kulma on se kulma α, joka on 0⁰ ja 180⁰ välillä. Vektorien välinen kulma muodostuu, kun vektorit asetetaan alkamaan samasta pisteestä.
Tällöin samansuuntaisten vektorien välinen kulma on 0⁰ ja vastakkaissuuntaisten vektorien välinen kulma 180⁰.
Vektoreiden a ja b pistetulolle pätee, kun a ja b eivät ole nollavektoreita
eli vektoreiden a ja b pistetulo on vektoreiden pituuksien tulo kerrottuna vektoreiden välisen kulman kosinilla.
Jos a tai b on nollavektori, pistetulo on 0.
Pistetulo luetaan "a piste b" ja erotukseksi normaalista kertolaskusta, piste merkitään aina vektorien väliin pistetulossa.
Koska pistetulossa on kosini vektorien välisestä kulmasta, kertoo pistetulon merkki kulman suuruudesta.
Tärkeä huomio tässä on, että pistetulo on 0, kun vektorien välinen kulma on 90 astetta. Eli kun vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, pistetulo on 0. Tämä on vektorien kohtisuoruusehto.
Esimerkki 1.
Vektorin a pituus on 3 ja vektorin b pituus on 2. Vektorit muodostavat 45 asteen kulman keskenään. Mikä on vektorien pistetulo?
Ratkaisu
Esimerkki 2.
Oheiset vektorit muodostavat kolmion
Tällöin kosinilauseen mukaan
Josta saadaan
Yhtälön toiselle puolelle jää pistetulo, eli
Vektorit komponenttien avulla lausuttuna
Vektorien pituudet
Sijoitetaan vektorien pituudet aiemmin saatuun pistetulon yhtälöön ja sievennetään
Pistetulo saadaan siis laskettua kun vektorien komponentit kerrotaan keskenään ja lasketaan nämä tulot yhteen.
Olkoon vektorit
Tällöin pistetulo vektorien a ja b välillä on
Esimerkki 3
Lasketaan vektoreiden a ja b välinen kulma.
Käytetään pistetulon kaavaa
Vektorien pituudet ja pistetulo
Tällöin
Vektorien välisellä kulmalle pätee
Esimerkki 4
Lasketaan vektoreiden a ja b välinen kulma
Pistetuloksi saatiin 0. Tämä tarkoittaa, että vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, eli kulma on 90 astetta.
Esimerkki 5
Määritä vakio s siten, että vektori a ja b ovat kohtisuorassa toisiaan vasten.
Vektorien pistetulon tulee olla 0
Pistetulon ominaisuuksia
1. Pistetulo on vaihdannainen, eli tulos ei riipu järjestyksestä.
2. Pistetulolle on voimassa osittelulaki.
3. Skalaarikertoimen siirtosääntö.
4. Pistetulo itsensä kanssa on vektorin pituus toiseen.
Esimerkki 6
Samasta pisteestä lähtevät vektorit a, b ja c ovat suuntaissärmiön särminä. Osoita, että vektorin a alku- ja loppupisteestä piirretyt särmiön lävistäjät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.
YO - Pitkä Matematiikka - kevät 1971
Ratkaisu
Kuvassa punaisella vektori a, vihreällä vektori b ja sinisellä vektori c.
Voit käännellä särmiötä hiirellä. Lävistäjät näkyvät katkoviivoitettuna.
Lävistäjävektorit ovat silloin vektoreiden a, b ja c avulla lausuttuna
Pistetulo
Pistetulo on nolla, joten vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Harjoituksia
1. Määritä vakio a siten että vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Vihje
Pistetulon tulee olla 0.
2. Laske vektorien a ja b välinen kulma
Vihje
Vektorien välisen kulman kaava.
3. Kolmion kärjet ovat pisteissä (1,2,3), (0,1,1) ja (-2,5,3). Osoita, että kolmio on suorakulmainen.
Vihje
Muodosta kolmion sivuina toimivat vektorit.
4. Määritä vakio x siten, että vektorien välinen kulma on suora.
Vihje
Muodosta yhtälö pistetulon avulla
5. Määritä vakio x siten, että vektorien välinen kulma on suora.
Vihje
Muodosta yhtälö pistetulon avulla
6. Määritä vakio z siten, että vektorien välinen kulma on 45 astetta.
Vihje
Muodosta yhtälö vektorien välisen kulman kaavasta.
7. Vektorit a, b ja c lähtevät origosta. Laske niiden kärkipisteiden määräämän kolmion ala.
YO Pitkä 1981
Vihje
Laske kolmion sivuina olevat kaksi vektoria ja näiden välinen kulma.
8. Vektorit a, b ja c ovat suuntaissärmiön erisuuntaisina särminä. Määritä kertoimet x, y ja z siten, että särmiö on suorakulmainen, ja laske tämän särmiön tilavuus.
YO pitkä 1978
Vihje
Vektorien tulee olla kohtisuorassa toisiaan vasten.
