Embedded Files
Suorita lukio-opintoja kesällä etänä Eirassa!
Avaruuden kulma saadaan määritetyksi vektorien avulla.
Esimerkki 1
Lasketaan suorakulmaisen särmiön avaruuslävistäjän ja pohjan välinen kulma.
Särmien pituudet ovat a, 2a ja 2a.
Asetetaan särmiö koordinaatistoon siten, että kulma on origossa.
Nyt voimme esittää avaruuslävistäjän sekä pohjanlävistäjän vektorien avulla.
Avaruuslävistäjä on vektrori a ja pohjan lävistäjä vektori b.
Vektorien välinen kulma
Lasketaan vektorien pistetulo sekä pituudet.
Nyt voidaan laskea kulma
Avaruuslävistäjän ja pohjan välinen kulma on 19,5 astetta.
Suorien välinen kulma on toistensa leikkaavien suorien teräväkulma tai suorakulma, jos suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Jos suorat eivät leikkaa, on näiden välinen kulma yhtä suuri kuin suorien kanssa yhdensuuntaisten leikkaavien suorien välinen kulma.
Esimerkki 2
Suora kulkee pisteiden A(0,1,3) ja B(2,-1,-1) kautta. Toinen suora kulkee pisteiden C(3,-2,4) ja D(4,-3,-5) kautta. Määritä suorien välinen kulma.
Ratkaisu
Suorien välinen kulma saadaan suuntavektorien välisen kulman avulla.
Suuntavektorit
Pistetulo sekä pituudet
Nyt voidaan laskea kulma
Esimerkki 3
Liisa-Petteri lähtee avaruusaluksellaan avaruusasemalta, joka sijaitsee origossa. Avaruuden valtatie kulkee pisteen (1,2,3) kautta ja vektorin a suuntaan. Liisa-Petterin olisi tarkoitus liittyä valtatielle pisteessä (5,0,9). Missä kulmassa Liisa-Petteri liittyy valtatielle?
Liisa-Petteri kulkee pisteen (5,0,9) paikkavektorin suuntaisesti. Lasketaan vektorin a ja pisteen P(5,0,9) suuntavektorin välinen kulma.
Pistetulo ja pituudet
Vektorien välinen kulma
Eli saapumiskulma on noin 16 astetta.
Harjoituksia
Harjoituksia
1. Suorakulmaisen särmiön pohjan sivujen suhteet ovat 1:3. Korkeus on kaksinkertainen pohjan lyhyempään sivuun verrattuna. Määritä pohjan ja avaruuslävistäjän välinen kulma.
Vihje
Esimerkki 1
2. Liisa-Petteri asensi laserilla toimivan murtohälyttimen huoneeseensa. Laserosoitin tulee sijoittaa huoneen nurkkaan ja sen tulee osoittaa huoneen keskellä metrin korkeudella olevaan vastaanottimeen. Missä kulmassa lasersäde on lattiaan nähden? Huoneen mitat ovat 20 m × 20 m × 3 m.
Vihje
Esimerkki 1
3. Kuution sivun pituus on a. Laske sivutahkon lävistäjän sekä pohjan lävistäjän välinen kulma.
Vihje
Esimerkki 1
4. Suora kulkee origon ja pisteen A(-5,2-3) kautta. Pisteestä (a,-9,1) asetetaan suora, joka kulkee pisteen (-3,6,-9) kautta. Miten a tulisi valita, jotta suorien välinen kulma olisi 60 astetta? Anna vastaus yhden desimaalin tarkkuudella.
Vihje
Suuntavektorien välinen kulma.
5. Suora l kulkee origon ja pisteen A(-1,2-3) kautta. Suora s asetetaan kulkemaan pisteen (-2,-3,4) kautta sekä suoran l pisteen kautta. Mikä piste tulisi valita, jotta suorat olisivat kohtisuorassa toisiaan vasten?
Vihje
Pistetulo ja suoran komponenttimuotoinen parametriesitys. Ratkaise kerroin n.
6. Suorakulmaisen särmiön pohjan keskipisteestä piirretään janat ylänurkkiin kuvan mukaisesti. Laske janojen välinen kulma.
Vihje
Aseta särmiön nurkka origoon.
7. Osoita, että suora joka kulkee pisteiden (0,1,2) ja (-3,3,2) kautta on kohtisuorassa suoraa, joka kulkee pisteiden (-4,8,2) ja (-8,2,2) kautta.
Vihje
Pistetulo
8. Suora l kulkee pisteiden (1,1,1) ja (4,4,1) kautta. Pisteen (3,0,1) kautta asetetaan suora s, joka leikkaa suoran l. Mikä on leikkauspiste, kun suorien välinen kulma on 45 astetta?
Vihje
Esitä kysytty piste suoran l parametrein. Määritä suoran s suuntavektori.
Osion perustehtävät
Osion perustehtävät
Google Sites
Report abuse