Ympyrän yhtälö
Suorita MAA4-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.
Esimerkki 1
Määritetään kaikki pisteet, joiden etäisyys origosta on 3.
Koordinaattiakselien pisteet
Muita pisteitä
Kaikki pisteet
Pisteet, jotka ovat etäisyydellä 3 origosta, muodostavat ympyrän, jonka säde on 3. Merkitään ympyrällä olevaa pistettä (x,y) ja määritetään tämän pisteen etäisyys origosta käyttämällä kahden pisteen välisen etäisyyden kaavaa. Näin saamme pistejoukon yhtälön, joka esittää ympyrää.
Tämä on siis origokeskeinen ympyrä, jonka säde on 3.
Ympyrän keskipistemuotoinen yhtälö
Merkitään ympyrän keskipistettä (x₀,y₀) . Pisteen (x,y) etäisyys keskipisteestä on
Merkitään tätä etäisyyttä, eli ympyrän sädettä, kirjaimella r
Tämä on ympyrän keskipistemuotoinen yhtälö.
Keskipistemuotoisesta ympyrän yhtälöstä nähdään keskipiste ja säde suoraan.
Esimerkki 2
Keskipiste (4,2) säde 5
Keskipiste (-5,1) säde 2
Keskipiste (-7,0) säde 10
Kokeile
Voit muuttaa ympyrän sädettä liu'ulla ja siirtää keskipistettä raahaamalla.
Ympyrän normaalimuotoinen yhtälö
Yleensä ympyrä tulee vastaan normaalimuotoisena. Tällöin siinä ei ole sulkeita ja kaikki termit on yhtälön vasemmalla puolella. Muutetaan seuraava ympyrän yhtälö keskipistemuodosta normaalimuotoon.
Esimerkki 3
Normaalimuotoisesta ympyrän yhtälöstä ei näe suoraan keskipistettä eikä sädettä. Tällöin on mentävä toiseen suuntaan ja muodostettava keskipistemuotoinen yhtälö. Tässä auttaa muistikaava binomin neliö.
Esimerkki 4
Alla on erään ympyrän normaalimuotoinen yhtälö
Muutetaan yhtälö keskipistemuotoon. Merkitään x:t ja y:t peräkkän ja viedään vakiot yhtälön oikealle puolelle. Lisätään yhtälöön luvut siten, että saadaan muodostettua binomin neliöt.
Ympyrän keskipiste on (-2,4) ja säde on 3
Harjoituksia
1. Ympyrän keskipiste on (2,5) ja säde on 7. Määritä ympyrän normaalimuotoinen yhtälö.
Vihje
Muodosta ensin keskipistemuotoinen yhtälö.
2. Määritä ympyrän keskipiste ja säde. Piirrä ympyrä GeoGebralla.
Vihje
3. Ympyrän keskipiste on (1,0) ja säde on 5.
a) Onko piste (4,4) ympyrällä?
b) Onko piste (5,3) ympyrällä, ympyrän sisällä vai ympyrän ulkopuolella?
c) Mikä pitää olla pisteen (2,y) y-koordinaatti, jotta piste on ympyrällä?
Vihje
Piste on ympyrällä, jos se toteuttaa ympyrän yhtälön. Voit myös tutkia etäisyyksiä.
4. Määritä ympyrän keskipiste ja säde
Vihje
b-kohdassa täydennä neliöksi.
5. Ympyrän halkaisijan päätepisteet ovat (2,4) ja (6,8). Määritä ympyrän normaalimuotoinen yhtälö.
Vihje
Keskipiste on janan puolessä välissä.
6. Ympyrä sivuaa x-akselia pisteessä (4,0). Ympyrän keskipisteen koordinaatit kuuluvat pistejoukkoon 9x+3y=6. Määritä ympyrän yhtälö.
Vihje
Hahmottele ensin tilanne. Mikä on keskipisteen x-koordinaatti?
7. Määritä ympyröiden välinen etäisyys
Vihje
Laske ensin keskipisteiden välinen etäisyys.
8. Ympyrän keskipisteen etäisyys pisteistä (0,6), (1,3) sekä origosta on yhtä suuri. Ympyrän säde on puolet tästä etäisyydestä. Määritä ympyrän yhtälö.
Vihje
Muodosta etäisyyksien avulla yhtälöpari.
9. Määritä sen ympyrän yhtälö, jonka keskipiste on (2,3) ja joka sivuaa alapuolella olevaa ympyrää.
Vihje
Keskipisteiden välinen etäisyys.
10. Millä vakion a arvoilla yhtälö esittää ympyrää? Millä arvolla yhtälö esittäisi pistettä? Mikä piste on tällöin kyseessä?
Vihje
Säde on aina positiivinen.
Vanhoja YO-tehtäviä
Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen
1. Ympyrän x²+y² = 16 jänteen keskipiste on (2,1). Määritä jänteen pituus.
Syksy 2015
2√11
2. Osa tien kaarteesta on ympyrän kaari, joka kartalla kulkee xy-koordinaatiston pisteiden (28, 98), (70, 112) ja (126, 84) kautta. Kuinka suuri on tämän ympyrän säde, kun yksikkö kartalla vastaa 25:tä metriä luonnossa?
Syksy 2001
Kartalla 70, luonnossa 1750 m
3. Millä a:n arvoilla yhtälö x² + y² + 2ax + 4ay + 2y + 6a + 1 = 0 on ympyrän yhtälö? Määritä näiden ympyröiden keskipisteiden muodostama joukko.
Syksy 1998
a<0 tai a>2/5, kp=(-a,-(2a+1))
Osion perustehtävät