Polynomifunktion integrointi
Aletaan käydä läpi erilaisia funktioita ja etsitään niiden integrointisäännöt. Aloitetaan potenssifunktion integraalisäännöstä:
Tulos pätee yleisesti aina kun alkuperäinen funktio on määritelty. Otetaan tässä vaiheessa kuitenkin vain tilanne, jossa r = 1,2,3,4, …. eli r on positiivinen kokonaisluku. [Tarkista tämä sääntö itse derivoimalla yhtälön oikealla puolella olevaa lauseketta!].
Jos funktiossa ei ole muuttujaa ollenkaan (x:n potenssi on nolla), voidaan käyttää yksinkertaisempaa muistisääntöä
Yhdistettynä edellisessä luvussa mainittuun summan integraalisääntöön, osaamme nyt laskea polynomifunktioiden integraalit.
Esimerkki 1: Integroi
Sääntöjä kannattaa käyttää mahdollisimman paljon ennen erillisten termien integroimista, usein integroitava lauseke sievenee merkittävästi ja laskettavaa jää vähemmän.
Esimerkki 2: Laske integraali
Lisäksi kannattaa vielä huomata, että jos integraalin sisällä on sulkulauseke, se pitää ensin avata ennen kuin integraali osataan laskea.
Esimerkki 3:
Harjoituksia
1. Laske
Vihje
Integroimissääntö
2. Laske
Vihje
Integroimissääntö
3. Laske
Vihje
Yhdistä integraalit ja sievennä
4. Laske
Vihje
Avaa sulkeet
5. Laske
Vihje
Integroimissäännöt
6. Laske
Vihje
Avaa sulkeet
7. Ratkaise
Vihje
a-kohdassa yhdistä integraalit ja sivennä.
b-kohdassa vie kerroin integraalin sisälle. Tämän jälkeen yhdistä integraalit ja sievennä.
8. Ratkaise
Vihje
C=0
Lisäksi tiedämme, että funktioiden f(x) ja g(x) integraalifunktioiden vakiotermi on 0.
9. Ratkaise
Vihje
Määritä ensin F(x) ja G(x)
Lisäksi tiedämme, että F(1)=0 ja G(1)=1.
10. Ratkaise
Vihje
Määritä ensin F(x)
Lisäksi tiedämme, että F(0)=0