Funktion muutosnopeus
Funktion muutosnopeus kertoo millä nopeudella funktion arvot muuttuvat
Esimerkki 1
Alapuolella on funktion kuvaaja, joka kuvaa Liisa-Petterin mielialaa ajan funktiona. Selvitetään keskimääräinen muutosnopeus pisteiden B ja A välillä.
Piste A on ajanhetkellä 3h ja mielialan arvo on 11. Piste B on ajanhetkellä 10h ja mielialan arvo on 39.
Piirretään pisteiden kautta suora. Keskimääräistä muutosnopeutta kuvaa tämän suoran kulmakerroin.
Keskimäärin Liisa-Petterin mieliala nousee 4 yksikköä tunnissa ajanhetkien 3h ja 10h välillä.
Mikäli haluamme tietää hetkellisen muutosnopeuden sekä pisteessä A että pisteessä B, asetetaan pisteisiin tangentit, eli suorat, jotka leikkaavat funktion vain kyseisessä pisteessä.
Valitaan suorilta kaksi pistettä ja määritetään kulmakertoimet.
Pisteessä A hetkellinen muutosnopeus on 0,83 yksikköä/h ja kohdassa pisteessä B hetkellinen muutosnopeus on 11 yksikköä/h. Mitä jyrkempi funktion kuvaaja on, sitä nopeammin sen arvot muuttuvat.
Esimerkki 2
Liisa-Petterin aivojen aktiivisuutta kuvaa funktio f.
Funktiossa x on tunteja heräämisestä. Määritetään keskimääräinen aivojen aktiivisuuden muutosnopeus hereilläolotuntien 1 ja 3 välillä.
Aivojen aktiivisuus kasvaa keskimäärin 8 yksikköä tunnissa hereilläolotuntien 1 ja 3 välillä. Määritetään keskimääräinen muutosnopeus heräilläolotuntien 10 ja 11 välillä.
Kasvunopeus on negatiivinen, eli aivojen aktiivisuus laskee keskimäärin 9 yksikköä tunnissa.
Funktion keskimääräinen muutosnopeus välillä [a,b]
Harjoituksia
1. Määritä alapuolisen appletin avulla funktion f ja g muutosnopeudet kohdassa -1 ja 1.
Voit liikuttaa tangenttia vetämällä sinistä pistettä pitkin kuvaajaa.
Vihje
Kulmakertoimen arvo
2. Piirrä funktion f kuvaaja
a) Laske keskimääräinen muutosnopeus välillä [-2,2]
b) Määritä hetkellinen muutosnopeus kohdissa -2, 2 ja 4
Vihje
Piirrä tangentti kyseiseen kohtaan.
3. Piirrä funktion f kuvaaja
a) Laske keskimääräinen muutosnopeus välillä [2,4]
b) Määritä hetkellinen muutosnopeus kohdassa 2,3 ja 4
Vihje
Piirrä tangentti.
4. Piirrä funktion f kuvaaja
a) Laske keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, 4]
b) Määritä hetkellinen muutosnopeus kohdissa 0, 4 ja 6
Vihje
GeoGebrassa saa piirrettyä tangentin komennolla tangentti(A,f), missä A on piste, johon tangentti piirretään ja f on funktio.
5. Piirrä funktion f kuvaaja. Millä muuttujan x arvoilla funktion f muutosnopeus on negatiivinen?
Vihje
Mihin kohtaan tulee tangentin kulmakertoimeksi negatiivinen luku?
6. Alla oleva kuvio havainnollistaa Liisa-Petterin etäisyyttä kotoaan, kun hän lähti hiihtämään töihin. Millä nopeudella Liisa-Petteri hiihti?
Vihje
Muutosnopeus
7. Piirrä funktioiden f ja g kuvaajat ja selvitä millä muuttujan x arvoilla funktion f muutosnopeus on suurempi kuin funktion g.
Vihje
Missä kohtaa funktion f tangenttien kulmakertoimet ovat suuremmat kuin funktion g tangenttien kulmakertoimet?
8. a) Piirrä funktion f kuvaaja ja määritä missä funktion muutosnopeus on 0. Eli mihin kohtaan tulee x-akselin suuntainen tangentti.
b) Ratkaise funktion g nollakohdat. Mitä yhteistä näillä nollakohdilla ja a-kohdalla on?
c) Piirrä funktiolle f tangentit kohtiin -2, 1 ja 8. Laske myös g(-2), g(1) ja g(8).
Näiden kohtien perusteella miten funktio g liittyy funktioon f?
Vihje
Missä kohtaa kuvaaja muuttaa suuntaansa?
9. Edellisen tehtävän funktiota g kutsutaan funktion f derivaattafunktioksi ja se kuvaa funktion f muutosnopeutta.
Selvitä kumpi funktioista g vai h on funktion f derivaattafunktio.
Vihje
Tee vastaava testi funktioille kuin oli edellisessä tehtävässä.
10. Selvitä kumpi funktioista g vai h on funktion f derivaattafunktio.
Vihje
Suorita testi tehtävän 8 mukaisesti
