Funktion muutosnopeus

Funktion muutosnopeus kertoo millä nopeudella funktion arvot muuttuvat

Esimerkki 1

Alapuolella on funktion kuvaaja, joka kuvaa Liisa-Petterin mielialaa ajan funktiona. Selvitetään keskimääräinen muutosnopeus pisteiden B ja A välillä.

Piste A on ajanhetkellä 3h ja mielialan arvo on 11. Piste B on ajanhetkellä 10h ja mielialan arvo on 39.

Piirretään pisteiden kautta suora. Keskimääräistä muutosnopeutta kuvaa tämän suoran kulmakerroin.

Keskimäärin Liisa-Petterin mieliala nousee 4 yksikköä tunnissa ajanhetkien 3h ja 10h välillä.

Mikäli haluamme tietää hetkellisen muutosnopeuden sekä pisteessä A että pisteessä B, asetetaan pisteisiin tangentit, eli suorat, jotka leikkaavat funktion vain kyseisessä pisteessä.

Valitaan suorilta kaksi pistettä ja määritetään kulmakertoimet.

Pisteessä A hetkellinen muutosnopeus on 0,83 yksikköä/h ja kohdassa pisteessä B hetkellinen muutosnopeus on 11 yksikköä/h. Mitä jyrkempi funktion kuvaaja on, sitä nopeammin sen arvot muuttuvat.

Esimerkki 2

Liisa-Petterin aivojen aktiivisuutta kuvaa funktio f.  

Funktiossa x on tunteja heräämisestä. Määritetään keskimääräinen aivojen aktiivisuuden muutosnopeus hereilläolotuntien 1 ja 3 välillä.

Aivojen aktiivisuus kasvaa keskimäärin 8 yksikköä tunnissa hereilläolotuntien 1 ja 3 välillä. Määritetään keskimääräinen muutosnopeus heräilläolotuntien 10 ja 11 välillä.

Kasvunopeus on negatiivinen, eli aivojen aktiivisuus laskee keskimäärin 9 yksikköä tunnissa.

Funktion keskimääräinen muutosnopeus välillä [a,b]

Harjoituksia

1. Määritä alapuolisen appletin avulla funktion f ja g muutosnopeudet kohdassa -1 ja 1.

Voit liikuttaa tangenttia vetämällä sinistä pistettä pitkin kuvaajaa.

Vihje

Kulmakertoimen arvo

2. Piirrä funktion f kuvaaja 

a) Laske keskimääräinen muutosnopeus välillä [-2,2]

b) Määritä hetkellinen muutosnopeus kohdissa -2, 2 ja 4

Vihje

Piirrä tangentti kyseiseen kohtaan.

3. Piirrä funktion f kuvaaja 

a) Laske keskimääräinen muutosnopeus välillä [2,4]

b) Määritä hetkellinen muutosnopeus kohdassa 2,3 ja 4

Vihje

Piirrä tangentti.

4. Piirrä funktion f  kuvaaja 

a) Laske keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, 4]

b) Määritä hetkellinen muutosnopeus kohdissa 0, 4 ja 6

Vihje

GeoGebrassa saa piirrettyä tangentin komennolla tangentti(A,f), missä A on piste, johon tangentti piirretään ja f on funktio.

5. Piirrä funktion f kuvaaja. Millä muuttujan x arvoilla funktion f muutosnopeus on negatiivinen?

Vihje

Mihin kohtaan tulee tangentin kulmakertoimeksi negatiivinen luku?

6. Alla oleva kuvio havainnollistaa Liisa-Petterin etäisyyttä kotoaan, kun hän lähti hiihtämään töihin. Millä nopeudella Liisa-Petteri hiihti?

Vihje

Muutosnopeus

7. Piirrä funktioiden f ja g kuvaajat ja selvitä millä muuttujan x arvoilla funktion f muutosnopeus on suurempi kuin funktion g.

Vihje

Missä kohtaa funktion f tangenttien kulmakertoimet ovat suuremmat kuin funktion g tangenttien kulmakertoimet?

8. a) Piirrä funktion f kuvaaja ja määritä missä funktion muutosnopeus on 0. Eli mihin kohtaan tulee x-akselin suuntainen tangentti.

b) Ratkaise funktion g nollakohdat.  Mitä yhteistä näillä nollakohdilla ja a-kohdalla on?

c) Piirrä funktiolle f tangentit kohtiin -2, 1 ja 8. Laske myös g(-2), g(1) ja g(8).

Näiden kohtien perusteella miten funktio g liittyy funktioon f?

Vihje

Missä kohtaa kuvaaja muuttaa suuntaansa?

9. Edellisen tehtävän funktiota g kutsutaan funktion f derivaattafunktioksi ja se kuvaa funktion f muutosnopeutta.

Selvitä kumpi funktioista g vai h on funktion f derivaattafunktio.

Vihje

Tee vastaava testi funktioille kuin oli edellisessä tehtävässä.

10. Selvitä kumpi funktioista g vai h on funktion f derivaattafunktio.

Vihje

Suorita testi tehtävän 8 mukaisesti

Osion perustehtävät