Suora ja suoran yhtälö
Kaikki suorat voidaan ilmoittaa muodossa y=kx+b, missä k on suoran kulmakerroin ja b on vakio. Edellä olevaa suoran muotoa kutsutaan ratkaistuksi muodoksi.
Kulmakerroin
Kulmakerroin kertoo kuinka jyrkästi suora nousee tai laskee. Kun kulmakerroin on positiivinen, suora on nouseva ja kulmakertoimen ollessa negatiivinen suora on laskeva. Mitä suurempi kulmakerroin on, sitä jyrkemmin suora nousee, Vastaavasti mitä pienempi kulmakerroin, sitä jyrkemmin suora laskee.
Kulmakerroin
Kun tunnetaan suoran kaksi pistettä, saadaan kulmakerroin laskettua viereisellä kaavalla.
Esimerkki 1
Määritetään alla olevan suoran kulmakerroin.
Valitaan suoralta pisteet (1,1) ja (3,5). Pisteiden y-koordinaattien ero on 4 ja x-koordinaattien ero on 2. Kulmakerroin on siis
Esimerkki 2
Kuvassa suorat f,g,h ja i
Määritetään kulmakertoimet
Valitaan suorilta kaksi pistettä
Suoran f kulmakerroin k=2 Suoran i kulmakerroin k=-1
Suora h on vaakasuora, joten y-koordinaattien erotus on 0. Kulmakerroin k=0
Suora g on pystysuora, joten x-koordinaattien erotus on 0. Tässä tapauksessa jakajaksi tulisi 0, eli kulmakerroin ei ole määritelty. Suorilla, jotka ovat y-akselin suuntaisia ei ole kulmakerrointa.
Kulmakertoimelle myös pätee
jossa α on suoran ja x-akselin välinen kulma
Kokeile
Voit muuttaa suoran suuntaa vetämämällä pisteestä A. Saat muutettua kulmakertoimen apukolmiota vetämällä pisteistä B ja C.
Suoran vakiotermi b
Suoran yhtälö toteuttaa säännön x- ja y-koordinaattien välillä. Esimerkiksi suora y=2x+2 kertoo meille, että pisteen y-koordinaatti saadaan, kun x-koordinaatti kerrotaan kahdella ja tuloon lisätään kaksi. Jos halutaan laskea mikä on suoran piste, jossa x-koordinaatti on 1, sijoitetaan x=1 suoran yhtälöön. Tässä tapauksessa saataisiin y=4, joten suoran piste on (1,4).
Edellä olevassa suoran yhtälössä vakiotermi on 2. Jos halutaan tietää mikä on suoran piste, missä x=0, tehdään sijoitus. Meille jää y=2, eli vakiotermi. Kun x=0, ollaan y-akselilla. Toisin sanoen vakiotermi kertoo meille missä pisteessä suora leikkaa y-akselin.
Esimerkki 3
Määritetään esimerkki 2 suoran yhtälöt.
Suora f leikkaa y-akselin pisteessä (0,5), joten b=5 ja suoran yhtälö on y=2x+5
Suora i leikkaa y-akselin pisteessä (0,3), joten b=3 ja suoran yhtälö y=-x+3
Suoralla h on vain vakiotermi joten suoran yhtälö on y=5
Suoralla g ei ole kulmakerrointa, eikä se leikkaa y-akselia. Suoran yhtälö on x=2
Suoran yhtälö
Suoran yhtälö voidaan määrittää kahden pisteen avulla
missä k on suoran kulmakerroin ja (xo,y0) on suoran piste.
Suoran normaalimuoto
Suoralla on myös normaalimuotoinen yhtälö. Kaikki termit siirretään yhtälön vasemmalle puolelle ja muokataan yhtälö siten että termien kertoimet ovat kokonaislukuja. Termin, jossa on x, kerroin on positiivinen ja tämä termi on yhtälössä ensimmäisenä.
Esimerkki 4
Muutetaan alla oleva suoran yhtälö normaalimuotoon
Kokeile
Voit liikutella suoraa pisteistä A ja B. Näet suoran yhtälön ratkaisussa muodossa sekä normaalimuodossa.
Suorien leikkauspisteitä
Suora leikkaa y-akselin, kun x=0 ja x-akselin, kun y=0.
Esimerkki 5
Määritetään suoran y=2x-4 ja koordinaattiakselien leikkauspisteet.
Ratkaisu
Suoran vakiotermistä nähdään suoraan, että suora leikkaa y-akselin pisteessä (0,-4)
Merkitään y=0, jolloin saadaan x-akselin leikkauspiste.
2x-4=0, josta saadaan x=2. Suora leikkaa x-akselin pisteessä (2,0)
Esimerkki 6
Määritetään suorien y=3x-6 ja y=2x-4 leikkauspiste
Ratkaisu
Leikkauspiste on molemmille suorille yhteinen piste. Suorien yhtälöistä saadaan yhtälöpari. Merkitään suorat yhtäsuuriksi.
3x-6=2x-4, yhtälön ratkaisu on x=2 ja sijoittamalla tämä toiseen suorien yhtälöistä, saadaan y=0
Suorat leikkaavat toisensa pisteessä (2,0)
Suorien kohtisuoruus
Suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, mikäli suorien kulmakertoimet ovat toistensa vastalukujen käänteislukuja. Toisin sanoen kulmakertoimien tulo on -1
Esimerkki 7
Osoitetaan, että alla olevat suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Muutetaan suorat ratkaistuun muotoon
Kulmakertoimet ovat -2 ja 1/2, joten
Suorat ovat siis kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Suorat ovat yhdensuuntaiset, jos suorat ovat y-akselin suuntaiset tai niillä on yhtä suuret kulmakertoimet
Harjoituksia
1. Määritä kulmakertoimet suoralle, joka kulkee pisteen (1,2) ja
a) (5,7)
b) (-3,,6)
c) (4,2)
d) (1,-2)
kautta.
Vihje
Kulmakertoimen kaava
2. Suorat kulkevat yhteisen pisteen (-2,3) kautta. Toinen suora kulkee myös pisteen (0,4) kautta ja toinen pisteen (1,6) kautta. Kumpi suorista on jyrkempi?
Vihje
Määritä kulmakertoimet
3. Suora kulkee pisteiden (2,3) ja (-3,2) kautta. Määritä pisteen puuttuva koordinaatti siten että piste on suoralla.
a) (0,y)
b) (x,0)
c) (5,y)
Vihje
Määritä ensin kulmakerroin. Käytä sitten kulmakertoimen kaavaa.
4. Määritä kuvassa näkyvien suorien kulmakertoimet
Vihje
Valitse kaksi pistettä suoralta.
5. Määritä edellisen tehtävän suorien yhtälöt normaalimuodossa.
Vihje
Mistä näkee vakion b?
6. Määritä pisteiden (3,5) ja (-3,-2) kulkevan suoran normaalimuotoinen yhtälö.
Vihje
Määritä aluksi yhtälö ratkaistussa muodossa.
7. Suora on kohtisuorassa sitä suoraa vastaan, joka kulkee pisteiden (2,4) ja (5,5) kautta. Suora leikkaa y-akselin pisteessä (0,5). Määritä suoran normaalimuotoinen yhtälö.
Vihje
Kohtisuoruusehto.
8. Määritä suorien 2x + y + 2 = 0 ja x + y + 5 = 0 leikkauspisteet.
Vihje
Yhtälöpari
9. Tutki ovatko suorat 3x + 2y + 1 = 0 ja 2x + 3y + 2 = 0 yhdensuuntaiset.
Vihje
Yhdensuuntaisuusehto
10. Suora 6x – 2y + 6 = 0 rajaa koordinaattiakselien kanssa kolmion. Määritä kolmion pinta-ala.
Vihje
Missä suora leikkaa koordinaattiakselit?
11. Suora y = 2x + b rajaa koordinaattiakselien kanssa kolmion. Kolmion pinta-ala on 24. Määritä vakio b.
Vihje
Määritä kolmion kanta ja korkeus vakion b avulla lausuttuna.
12. Osoita, että suorat x + y – 4 = 0, x – 3y + 4 = 0 ja x + 4y – 10 = 0 leikkaavat samassa pisteessä. Mikä piste on kyseessä?
Vihje
Ratkaise ensin kahden suoran leikkauspiste.
13. Määritä vakio a siten että suorat ax – 2y + 8 = 0 ja 9x + ay – 1 = 0 leikkaavat pisteessä (1,2).
Vihje
Piste toteuttaa suoran yhtälön.
Vanhoja YO-tehtäviä
Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen
1. Suora y = 3 – 3x rajaa positiivisten koordinaattiakseleiden kanssa kolmion. Millä kulmakertoimen k arvolla suora y = kx jakaa tämän kolmion kahteen pinta‐alaltaan yhtä suureen osaan?
Syksy 2015
k=3
2. Alla on kolmen suoran kuvaajat. Esitä niiden yhtälöt muodossa y = kx + b. Perusteluita ei tarvita.
Kevät 2015
1: y=2x
2: y=-x+1
3: y=-1/2
3. Yksinkertaistetun mallin mukaan ilman lämpötila laskee lineaarisesti korkeuden h suhteen noin 11 kilometriin saakka. Merenpinnan tasolla h = 0 keskilämpötila on +15 celsiusastetta ja 11 kilometrin korkeudella -56 celsiusastetta.
a) Kuinka monta astetta ilma jäähtyy, kun noustaan 5,0 kilometrin korkeudelta 1,0 kilometriä ylöspäin?
b) Määritä ilman lämpötilan lauseke T =T(h) korkeuden h avulla lausuttuna ja piirrä sen kuvaaja (h,T) ‐koordinaatistoon, kun 0 ≤ h ≤ 11 km.
Kevät 2015
a) 6,5 astetta
b) T(h) = -71/11h + 15
4. Liito-oravan vaakasuora siirtymä suoraviivaisessa liidossa on parhaimmillaan 3,3-kertainen korkeuden vähenemiseen verrattuna.
a) Huippukuntoinen liito-orava aikoo liitää 60 metriä leveän aukion yli. Kuinka korkealta puusta sen täytyy ponnistaa, jotta se laskeutuisi aukion toisella puolella olevaan puuhun yhden metrin korkeudelle? Anna vastaus metrin tarkkuudella.
b) Kuinka suuressa kulmassa vaakatasoon nähden a-kohdan liito-orava liitää? Anna vastaus asteen tarkkuudella.
Syksy 2014
a) 19 metriä
b) 17 astetta alaviistoon
5. Pisteitä A = (1, 4) ja B = (7, 1) katsotaan origosta. Kuinka suuressa kulmassa jana AB tällöin näkyy, ts. mikä on janan päätepisteisiin suuntautuvien tähtäysviivojen välinen kulma? Anna vastaus yhden asteen tarkkuudella.
Syksy 2010
68 astetta