Frekvenssi
Keskilukuja
Frekvenssi
Frekvenssi kertoo meille kuinka monta kertaa havainto esiintyy tilastossa. Alla olevassa taulukossa x tarkoittaa arvosanaa, f on frekvenssi, eli kuinka monta kyseistä arvosanaa on ja f% on suhteellinen frekvenssi, eli arvosanojen suhteellinen osuus.
Taulukosta nähdään, että esimerkiksi arvosanoja 8 on kymmenen kappaletta ja niitä on 20% kaikista arvosanoista.
Esimerkki 1
Alla on Liisa-Petterin kaikkien lukiokurssien arvosanat.
7,7,5,4,6,7,8,7,4,5,8,9,8,7,8,6,5,4,5,6,7,8,6,4,6,7,8,9,5,5,4,6,7,8,9,9,8,9,10,9,7,8,8,8
Tehdään arvosanoista frekvenssitaulukko.
Aineiston keskikohtaa voidaan kuvata keskiluvuilla. Mikä näistä luvuista kuvaa parhaiten aineiston keskikohtaa ja mikä sopii sen hetkiseen tarkoitukseen, riippuu minkälaista keskikohtatietoa aineistosta halutaan ja tietenkin itse aineistosta.
Tässä tarkastellaan kolmea keskilukua: aritmeettinen keskiarvo, mediaani ja moodi.
Aritmeettinen keskiarvo
Aritmeettisessa keskiarvossa aineiston luvut lasketaan yhteen ja jaetaan aineiston lukujen määrällä.
Esimerkki 2.
Lasketaan lukujen 3,3,4,7,7,9 keskiarvo
Esimerkki 3.
Lasketaan esimerkin 1 arvosanojen keskiarvo.
Koska arvosanoja on paljon voimme käyttää frekvenssiä hyväksi. Tiedämme, että arvosanoja 4 on viisi kappaletta ja 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 5 ∙ 4
Liisa-Petterin kaikkien aineiden keskiarvo on 6,8
Mediaani ja moodi
Mediaani on suuruusjärjestykseen asetetun aineiston keskimmäinen luku. Jos lukuja on parillinen määrä, on mediaani kahden keskimmäisen luvun keskiarvo.
Esimerkki 4.
1,3,4,7,9
Lukuja on viisi kappaletta ja ne ovat suuruusjärjestyksessä. Mediaani on 4.
3,3,6,8,10,11
Lukuja on parillinen määrä, eli 6 kappaletta. Keskimmäiset luvut ovat 6 ja 8, joten mediaani on näiden keskiarvo 7.
Esimerkki 5.
Määritetään esimerkin 1 arvosanojen mediaani.
Mediaani on aineiston keskellä, joten sen molemmille puolille jää 50% arvosanoista. Frekvenssitaulukosta nähdään, että 50% tulee vastaan arvosanan 7 kohdalla.
Arvosanoja on parillinen määrä ja keskimmäiset arvosanat ovat 22. ja 23. Molemmat ovat arvosanoja 7.
Mediaani on 7.
Moodi kertoo meille aineiston useimmiten esiintyvän arvon. Eli sen, jolla on suurin frekvenssi. Edellä olevassa aineistossa suurin frekvenssi on arvosanalla 8, niitä on 11 kappaletta.
Moodi on 8.
Vanhoja YO-tehtäviä
Klikkaa tehtävää nähdäksesi vastauksen.
1. Hannu keräsi aineiston eräässä risteyksessä kulkevien autojen lukumäärästä huhtikuun jokaisena päivänä klo 12.00–12.15 välisenä aikana. Hän kokosi autojen lukumääristä frekvenssitaulukon ja laski, että lukumäärien keskiarvo on täsmälleen 3,3. Taulukon viimeinen sarake repeytyi kuitenkin irti. Siinä olleet luvut on merkitty alla kysymysmerkeillä. Päättele, mitkä luvut sarakkeessa olivat
Kevät 2018
Frekvenssi 2, autojen lukumäärä 8
2. Kuvion summafrekvenssikuvaaja esittää ammatissa toimivien lääkärien ikäjakaumaa vuonna 2001. (Lähde: Terveydenhuollon ammattihenkilöt 31.12.2001, Stakes 5/2002.)
Arvioi kuvaajan perusteella a) lääkäreiden mediaani-ikä, b) ikä, jonka 25 % lääkärikunnasta alitti, c) ikä, jonka 25 % lääkärikunnasta ylitti, d) kuinka monta prosenttia lääkärikunnasta oli 40 vuotta täyttäneitä, e) kuinka monta prosenttia enemmän oli alle 35-vuotiaita lääkäreitä kuin 55 vuotta täyttäneitä.
Syksy 2004
a) 44v
b) 37v
c) 51v
d) 64%
e) 40%
3. Eräässä matematiikan kokeessa arvosanojen jakauma oli seuraava:
Laske arvosanojen keskiarvo.
Syksy 2001
7,5
4. Heitettiin noppaa, ja saatiin kuvan mukainen tulos, jota kutsutaan tässä tehtävässä aineistoksi.
4.1. Muodosta aineiston perusteella frekvenssitaulukko. Voit laatia taulukon kaavaeditorin taulukko-ominaisuudella tai pelkkänä tekstinä. (2 p.)
4.2. Mikä on aineiston moodi? Perustele lyhyesti vastauksesi. (2 p.)
4.3. Mikä on aineiston mediaani? Perustele lyhyesti vastauksesi. (3 p.)
4.4. Mikä on aineiston keskiarvo? Perustele lyhyesti vastauksesi. (3 p.)
4.5. Mikä on silmäluvun tilastollinen todennäköisyys tässä aineistossa? (2 p.)
Kevät 2019
4.1: 4 ja 5
4.2: 4
4.3: 3,6
4.4: 1/15
Osion perustehtävät