Suorita lukio-opintoja kesällä etänä Eirassa!

Ääriarvosovelluksia

Ääriarvojen etsintä derivaatan avulla on jo tuttua. Nyt sovellamme sitä vektorilaskentaan sekä avaruuskappaleisiin.

Esimerkki 1

Palataan kappaleen Pisteen etäisyys suorasta ja tasosta esimerkkiin 2

Kolmiulotteinen koordinaatisto on valittu niin, että maanpinta on xy-tasossa ja pituusyksikkönä on metri. Maan alla oleva vesijohto kulkee pisteestä (0,0,−2) vektorin a suuntaan yhteensä 3 metriä. Sen jälkeen vesijohto täytyy liittää yhdysputken avulla runkoputkeen, joka kulkee pisteen ( 4,4,−3) kautta vektorin b suuntaan. Kuinka pitkä yhdysputken on vähintään oltava, jotta se riittää yhdistämään tämän vesijohdon runkoputkeen?

YO pitkä 2020s/6 (muokattu tehtävänantoa.)

Meidän pitäisi löytää lyhin pituus yhdysputkelle. Muodostetaan funktio pisteen etäisyydelle suorasta.

Runkoputken suoran pisteet, kun B(4,4,-3) ja suoran piste P(x,y,z)

Tässä n on jokin reaalilukukerroin. Tästä saamme ehdon suoran pisteille

Vesijohdon pää on pisteestä A(0,0,-2) kolme yksikköä vektorin a suuntaan. Tätä pistettä merkitään C.

Pisteen C etäisyys suoran pisteestä P, joka on myös vektorin CP pituus

Nelöijuuri saa pienimmän arvonsa silloin kun juurrettava saa pienimmän arvonsa, eli merkitään funktiota

Funktion f(n) kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, eli se saa pienimmän arvonsa huipussa. Derivoidaan ja haetaan derivaatan nollakohta.

Tällöin lyhin etäisyys, eli vektorin CP pituus

Yhdysputken pitäisi olla vähintään 2,9 metriä.

Esimerkki 2

Vektorin v pituus on 1. Määritä p siten, että v yhdessä vektoreiden a ja b kanssa virittää tilavuudeltaan mahdollisimman suuren tetraedrin. Mikä on tämän tetraedrin tilavuus?

YO pitkä 1994k/7b (Muokattu tehtävänantoa)

Laitetaan vektorit alkamaan origosta ja hahmotellaan tetraedri.

Voit käännellä kuvaa hiirellä.

Tetraedrin pohjana on suorakulmainen kolmio ja se on xy-tasossa. Tällöin pohjan pinta-ala

Ap = ½|2p||2p| = 2p²

Kolmion kateetteina ovat vektorit a ja b, joiden pituudet ovat |2p|.

Tetraedrin korkeus on h. Koska pohja on xy-tasolla on korkeus h = |z|.

Tetraedin tilavuus

Koska kyseessä on korkeus, huomioidaan vain muuttujan z positiivinen arvo. Negatiivisella arvolla tetraedri on samanlainen, mutta kärki on koordinaatistossa z-akselin negatiivisella puolella.

Vektorin v pituus on 1, josta saadaan

Tästä myös nähdään, että |z| ≤ 1, eli -1 ≤ z ≤ 1.

Merkitään tilavuus funktioksi V(p)

Derivoidaan ja haetaan derivaatan nollakohdat.

Hyväksymme vain positiivisen arvon, kuten aiemmin totesimme. (Negatiivisella arvolla tilavuuden suuruudeksi tulee sama.)

Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joten se on positiivinen ennen positiivista nollakohtaa ja negatiivinen tämän jälkeen.

Tämä taas tarkoittaa, että tilavuusfunktiomme kasvaa ennen tätä kohtaa ja vähenee sen jälkeen.

Funktiomme V(z) saavuttaa siis suurimman arvonsa tässä kohdassa.

Nyt voimme ratkaista vakion p

Saimme vakiolle p kaksi arvoa. Molemmilla muodostuu samanlainen tetraedri. Negatiivisella p:n arvolla tetraedri on vain toisinpäin.

Tetraedrin tilavuus, eli suurin arvo

Vastaus:

Tehtävässä olisi voinut myös käyttää apuna skalaarikolmituloa. Ratkaise tehtävä määrittelemällä tetraedrin tilavuus skalaarikolmitulon avulla.

Esimerkki 3

Neliöpohjaisen suoran pyramidin korkeuden ja pohjan särmän pituuksien summa on 12. Määritä pyramidin suurin mahdollinen tilavuus.

Merkitään korkeutta h ja pohjan särmää a.

h + a = 12 → h = 12 – a

Pyramidin tilavuus

Muodostetaan tilavuudelle funktio ja derivoidaan se

Derivaatta on alaspäin aukeava paraabeli, joten ennen jälkimmäistä nollakohtaa se on positiivinen ja sen jälkeen negatiivinen, eli funktio kasvaa ennen tätä kohtaa ja vähenee sen jälkeen. Tässä kohdassa on maksimikohta. Kun a = 0, tilavuus on 0.

Pyramidin suurin tilavuus on

Esimerkki 4 (Harjoitus)

Puolipallon sisällä on kuutio siten, että sen yksi sivutahko on puolipallon pohjatasolla ja vastakkaisen sivutahkon kärkipisteet ovat pallopinnalla. Kuinka monta prosenttia kuution tilavuus on puolipallon tilavuudesta?

YO 2010K/4

Voit klikata ratkaisun vaiheet näkyviin alapuolelta. Piirros päivittyy oikealle.

Esimerkki 5

Suoran ympyräkartion sisään asetetaan tilavuudeltaan suurin mahdollinen ympyrälieriö. Laske tämän lieriön ja kartion tilavuuksien suhde.

(Vastaava tehtävä ollut YO-kokeen tehtävänä syksyllä 1980.)

Ratkaisu

Hahmotellaan tilanne ja merkitään kartion pohjan sädettä R ja korkeutta H. Lieriön pohjan säde r ja korkeus h.

Voit käännellä kuvaa hiirellä.

Tilavuudet

Jälkimmäiselle, eli lieriön tilavuudelle pitäisi hakea suurin arvo.

Kuvion sisälle muodostuu kaksi kolmiota. Molemmat ovat suorakulmaisia ja niillä on yhteinen kulma huipussa. Kolmiot ovat siis yhdenmuotoiset. Todetaan myös 0 < r < R.

Tästä saadaan

Jolloin voimme muodostaa funktion lieriön tilavuudelle

Derivoidaan ja haetaan derivaatan nollakohdat

Derivaatan kuvaaja on alaspäinaukeava paraabeli, eli jälkimmäistä nollakohtaa ennen se on positiivinen ja tämän jälkeen negatiivinen, Tilavuusfunktio siis kasvaa tätä ennen ja pienenee tämän jälkeen. Tässä kohdassa on funktion suurin arvo.

Suurin tilavuus lieriölle on

ja tilavuuksien suhde

Harjoituksia

1. Teltta on säännöllisen neliöpohjaisen pyramidin muotoinen. Sivusärminä käytettävät kepit ovat 2,7 m pitkät. Määritä teltan suurin mahdollinen tilavuus, kun sen korkeus on vähintään 1,7 m.

YO lyhyt 1986s/10

Vihje

Muodosta funktio tilavuudelle. Etsi yhteys korkeudelle ja pohjan sivulle.

2. Pallon sisään asetetaan mahdollisimman suuri neliöpohjainen suora pyramidi. Laske pyramidin ja pallon tilavuuksien suhde.

YO pitkä 1998k/8a

Vihje

Etsi yhteys pyramidin mitoille ja pallon säteelle.

3. Metrin pituisista haloista kasataan suorakulmaisen särmiön muotoinen pino. Pino suoja‐ taan pressulla sekä päältä että kahdelta vastakkaiselta sivulta kuvion mukaisesti. Määritä halkopinon leveys x ja korkeus h silloin, kun pressun pinta‐ala on 10 neliömetriä ja pinon tilavuus on suurin mahdollinen.

YO lyhyt 2015k/6

Vihje

Huomioi sivut, jotka pressu peittää.

4. Suoran ympyräkartion korkeus on 6 ja pohjan säde 2. Mikä on tilavuudeltaan suurin neliöpohjainen suorakulmainen särmiö, joka voidaan asettaan kartion sisälle?

Vihje

Esitä särmiön korkeus pohjan sivun pituuden avulla käyttäen hyväksi ympyräkartion mittoja.

5. Neliöpohjaisen suoran pyramidin sisälle asetetaan tilavuudeltaan mahdollisimman suuri suora ympyrälieriö. Pyramidin korkeus on 8 ja pohjan särmän pituus 4. Laske lieriön tilavuus.

Vihje

Ilmaise lieriön korkeus pohjan säteen avulla käyttäen apuna pyramidin mittoja.

6. Määritä origon lyhin etäisyys suorasta, joka kulkee pisteiden (1,3,2) ja (-1,4,6) kautta.

Vihje

Muodosta funktio origon ja suoran pisteen etäisyydelle.

7. Lentokone ohitti tutka-aseman lentäen pitkin suoraa l. Tutka-asema sijaitsee koordinaatiston pisteessä (-2,3,0) Kuinka läheltä tutka-asemaa lentokone lensi lähimmillään?

Vihje

Muodosta funktio suoran parametrin avulla.

8. Yksikkösäteisen pallon sisällä on tilavuudeltaan mahdollisimman suuri suora ympyräpohjainen lieriö. Määritä lieriön korkeus ja pohjaympyrän säde. Laske lieriön ja pallon tilavuuksien suhde.

YO pitkä 2003k/8

Vihje

Lieriön keskipiste on pallon keskipisteessä.

9. Pallon, jonka säde on 3, sisälle asetetaan tilavuudeltaan mahdollisimman suuri suora ympyrälieriö. Tämän lieriön sisälle asetetaan mahdollisimman suuri pallo. Laske pallojen tilavuuksien suhde.

Vihje

Ratkaise lieriön pohjan säde. Mikä on suurimman mahdollisen pallon säde lieriön sisällä?

Osion perustehtävät

Google Sites

Report abuse