Embedded Files
Suorita lukio-opintoja kesällä etänä Eirassa!
Vektorit antavat meille työkalut määrittää avaruuden pisteen etäisyys suorasta avaruudessa.
Esimerkki 1
Avaruuden suora kulkee pisteiden A(2,1,3) ja pisteen B(0,2,1) kautta. Selvitetään pisteen C(1,1,1) etäisyys suorasta.
Lyhin etäisyys on aina kohtisuora etäisyys suorasta. Merkitään pistettä C lähimpänä olevaa suoran pistettä kirjaimella D.
Merkitään hahmotteluun vektorit
Vektori CD voidaan esittää vektorin CA ja suoran suuntavektorin a avulla.
Tämän lisäksi vektori CD on kohtisuorassa suoran suuntavektoria a vastaan. Joten vektoreiden pistetulo on 0
Vektorit CA ja suoran suuntavektori a pisteiden A ja B välillä
Nyt voimme ilmoittaa vektorin CD näiden vektorien avulla
Muodostetaan vektorin CD ja vektorin a pistetulo
Pistetulon tulee olla 0
Tällöin vektori CD on
Pisteen C etäisyys suorasta on vektorin CD pituus
Pisteen C etäisyys pisteiden A ja B määräämästä suorasta on 1.
Esimerkki 2
Kolmiulotteinen koordinaatisto on valittu niin, että maanpinta on xy-tasossa ja pituusyksikkönä on metri. Maan alla oleva vesijohto kulkee pisteestä (0,0,−2) vektorin a suuntaan yhteensä 3 metriä. Sen jälkeen vesijohto täytyy liittää yhdysputken avulla runkoputkeen, joka kulkee pisteen ( 4,4,−3) kautta vektorin b suuntaan. Kuinka pitkä yhdysputken on vähintään oltava, jotta se riittää yhdistämään tämän vesijohdon runkoputkeen?
YO pitkä 2020s/6 (muokattu tehtävänantoa.)
Ratkaisu
Hahmotellaan tilanne GeoGebralla. Voi käännellä kuvaa alapuolella. Punaisella vektorilla on merkitty siirtymä pisteestä A(0,0,-2) pisteeseen C. Suoralla oleva lähin piste on D. Meidän tulisi selvittää pisteen C etäisyys suorasta.
Merkitään suoran pistettä B(4,4,-3). Tehtävänä on määrittää vektorin CD pituus.
Vektori CD on kohtisuorassa suoran suuntavektoria vastaan. (Lyhin etäisyys on aina kohtisuora etäisyys.)
Paikkavektorit ja vektorin a pituus.
Pääsemme pisteestä C pisteeseen D myös kulkemalla vektoria a vastaan 3 yksikköä, pisteen A paikkavektoria vastaan, pisteen B paikkavektoria myöden suoralle ja sitten suoran suuntavektorilla pisteeseen D.
Tästä saadaan vektoriksi
Pistetulo vektorin b kanssa
Tästä saadaan vektorin CD pituudeksi
Yhdysputken tulisi olla 2,9 metriä.
Tehtävän voi ratkaista myös monella muulla tavalla. Eräs tapa käydään läpi kappaleessa Ääriarvosovelluksia.
Katso miten tehtävä ratkeaa GeoGebralla.
Pisteen etäisyys tasosta
Pisteen etäisyys tasosta
Esimerkki 3
Määritä pisteen (-2,-2,-2) etäisyys tasosta, jonka määräävät pisteet (1,1,1), (2,0,2) ja (0,3,3)
Ratkaisu
Merkitään pisteitä D(-2,-2,-2), A(1,1,1), B(2,0,2) ja C(0,3,3) sekä tason pistettä, joka on lähinnä pistettä D, E(x,y,z).
Tason suuntavektorit sekä pisteiden A ja D paikkavektorit
Vektori DE on kohtisuorassa tasoa vastaan, joten se on yhdensuuntainen tason normaalivektorin kanssa. On olemassa siis kerroin n siten että
Ristitulo laskimella (GeoGebran ristitulo-komento)
Joten
Vektori DE voidaan myös esittää, kun kuljetaan pisteestä D origon kautta tasolle ja tason suuntavektorien avulla pisteeseen E.
missä s ja t ovat reaalilukukertoimia. Vektorille DE saadaan esitys
Vektori DE on esitetty kahdella tavalla ja koska vektorien komponentit ovat yksikäsitteisiä, saadaan yhtälöryhmä, joka ratkaistaan laskimella.
Tällöin vektori DE ja sen pituus
Pisteen (-2,-2,-2) etäisyys tasosta on noin 3,53
Harjoituksia
Harjoituksia
1. Avaruuden suora kulkee pisteiden A(1,1,1) ja pisteen B(0,0,1) kautta. Määritä pisteen C(2,2,2) etäisyys suorasta.
Vihje
Esimerkki 1
2. Määritä origon etäisyys suorasta, joka kulkee pisteiden (-2,-2,-2) ja (3,1,0) kautta.
Vihje
Esimerkki 1
3. Origosta lähtevien vektorien a, b ja c kärjet määräävät tason. Laske origon etäisyys tästä tasosta.
YO pitkä 1984k/8b
Vihje
Muodosta tason suuntavektorit ja esitä lähimmän pisteen paikkavektori näiden avulla. Muista pistetulo!
4. Lentokone lähtee nousuun vektorin a suuntaisesti vaakatasoa kuvaavan xy-tason pisteestä (1500,2000). Samassa koordinaatistossa maantietä esittää yhtälö 2x + y = 200. Millä korkeudella lentokone ylittää maantien? Koordinaatiston pituusyksikkö on 1 m.
YO kevät 1990k/10a
Vihje
Suora, joka kuvaa maantietä muodostaa z-akselin suuntaisen tason. Määritä tason ja suoran, jota pitkin lentokone lentää, leikkauspiste.
5. Lentokone lentää vektorin a suuntaisesti 10 km korkeudella. Lentokone saapuu tutka-aseman havaintokenttään pisteessä (-30, 80, 10). Tutka-asema sijaitsee origossa. Kuinka läheltä tutka-asemaa lentokone lentää lähimmillään?
Vihje
Tutka-aseman etäisyys suorasta, jota pitkin lentokone lentää.
6. Pisteen (a,7,0) etäisyys tasosta 3x + 4y – 2 = 0 on 10. Määritä vakio a.
Vihje
Valitse tason lähin piste (x,y,z). Miten tämä liittyy tason normaalivektoriin?
7. Tasolla x + y – 3 = 0 ja suoralla, joka kulkee pisteiden (8,7,-8) ja (2,-2,4) kautta on yhteinen piste. Laske tämän pisteen etäisyys origosta.
Vihje
Pisteen paikkavektorin pituus.
8. Origon kautta kulkeva suora kulkee pisteen (1,2,3) kautta. Toinen suora kulkee pisteiden (-2,0,-2) ja (3,-5,0) kautta. Mikä on suorien välinen etäisyys?
Vihje
Merkitse vektori, joka muodostuu suorien etäisyydelle. Tämä vektori on kohtisuorassa suorien suuntavektoreita kohtaan. Esitä vektori kulkemalla suorien avulla alkupisteestä loppupisteeseen. Ratkaise aluksi kertoimet m ja n, eli suorien yhtälöissä olevat kertoimet.
Osion perustehtävät
Osion perustehtävät
Google Sites
Report abuse