Tekijöihin jakaminen
Suorita MAA2-opintojakso Eiran aikuislukiossa. Lue lisää.
Kun polynomi esitetään kahden tai useamman polynomin tulona, on polynomi jaettu tekijöihin. Tekijöihin jakaminen on hyödyllistä polynomeja käsiteltäessä. Usein se on jopa välttämätöntä ratkaisun saamiseksi.
Luvun jakaminen tekijöihinsä
Kun luku jaetaan tekijöihinsä, esitetään se alkulukujen tulona.
Polynomin jakaminen tekijöihinsä
Esimerkki 1
Yhteinen tekijä
Jaetaan polynomi tekijöihinsä ottamalla yhteinen tekijä
Molemmissa termeissä on yhteisenä tekijänä 4x, joten ottamalla sen yhteiseksi kertoimeksi jää kerrottavaksi x+2
Esimerkki 2
Binomin neliö
Jaetaan polynomi tekijöihinsä muodostamalla binomin neliö
Esimerkki 3
Summan ja erotuksen tulo
Jaetaan polynomi tekijöihinsä muodostamalla summan ja erotuksen tulo
Esimerkki 4
Ryhmittely
Jaetaan polynomi tekijöihinsä käyttämällä ryhmittelyä. Eli ryhmitellään termit siten, että saadaan sopivasti yhteiset tekijät.
Vaihdetaan aluksi kahden keskellä olevan termin paikkaa.
Otetaan kahdesta ensimmäisestä termistä yhteiseksi tekijäksi x ja kahdesta viimeisestä yhteiseksi tekijäksi 2.
Nyt suluissa olevat lausekkeet ovat samat, joten otetaan tämä sulkulauseke yhteiseksi tekijäksi.
Ensimmäisen sulun sisällä on neliöiden erotus.
Esimerkki 5
Nollakohtien avulla
Polynomi voidaan aina jakaa tekijöihinsä nollakohtiensa avulla. Esimerkiksi toisen asteen polynomille pätee
Jaetaan yllä oleva polynomi tekijöihin nollakohtien avulla
a = 1, b = –2 ja c = –8
Polynomi jaettuna tekijöihin nollakohtien avulla
Esimerkki 6
Jaetaan polynomi 2x² +7x+5 tekijöihinsä
Erotetaan termi 7x summaksi 2x + 5x, jolloin saamme sopivasti yhteiset tekijät.
Tekijöihin jakaminen GeoGebralla
Komento JaaTekijöihin GeoGebrassa jakaa polynomin ensimmäisen asteen tekijöihinsä. Vieressä edellisen esimerkin polynomi jaettu tekijöihin GeoGebran avulla.
Harjoittele jakamaan kolmannen asteen polynomi tekijöihinsä
Harjoituksia
1. Jaa trinomi tekijöihin, jotka ovat ensimmäistä astetta x:n suhteen.
YO 1886
Vihje
Nollakohtien avulla
2. Toisen asteen polynomifunktiolle voidaan käyttää kahta erilaista esitystapaa.
Summamuoto: ax² + bx + c.
Tulomuoto: a(x − x₁)(x − x₂).
a) Muokkaa polynomi 2(x − 6)(x − 9) summamuotoon.
b) Muokkaa polynomi x² + x − 12 tulomuotoon.
c) Osoita, että x₁x₂ = c/a , jos x₁ ja x₂ ovat polynomin ax² + bx + c nollakohdat.
YO Kevät 2018
Vihje
c) Vertaa tulo- ja summamuotoja
3. Jaa lauseke (x - 1)(x + 1) - (x + 1) ensi asteen tekijöihin
YO Syksy 1990
Vihje
Saatko yhteisen tekijän avaamatta sulkeita?
4. Jaa tekijöihin
Vihje
Termit ovat valmiiksi oikeassa järjestyksessä.
5. Jaa tekijöihin
Vihje
Vaihda keskimmäisten termien paikkaa keskenään.
6. Jaa tekijöihin
Vihje
Erota ensimmäisen asteen termi sopivaksi summaksi.
7. Osoita, että alla oleva polynomi saa aina positiivisia arvoja riippumatta vakion a arvosta.
Vihje
Muodosta binomin neliö
8. Osoita, että yhtälöllä on kaksi ratkaisua riippumatta vakion a arvosta. Mitkä nämä ratkaisut ovat?
Vihje
Jaa yhtälön vasen puoli tekijöihinsä.
